F melakukan usaha mekanik sepanjang dx yang dilakukan oleh gas yang mengembang dalam bejana berpenampang A melalui piston: 𝑑𝑤 = 𝐹. 𝑑𝑥 = 𝑝. 𝑑𝑣 + 0𝑑𝑝 Apakah fungsi w = w(pv) ada? Buktikan dengan memeriksa syarat Euler?
fungsi w = w(pv) ada untuk proses yang digambarkan oleh persamaan 𝑑𝑤 = 𝐹. 𝑑𝑥 = 𝑝. 𝑑𝑣 + 0𝑑𝑝. Fungsi w(pv) dapat didefinisikan sebagai berikut:
w(pv) = ∫v1v2 pdv
di mana v1 dan v2 masing-masing adalah volume awal dan akhir sistem saat proses berlangsung.
Untuk memeriksa apakah fungsi ini memenuhi syarat Euler, kita perlu memeriksa apakah persamaan ini benar:
w(pv) = f(p) - p * f'(p)
di mana f(p) adalah fungsi energi dalam sistem.
Pertama, kita perlu mencari f(p). Karena proses terjadi pada gas ideal, maka f(p) dapat didefinisikan sebagai:
f(p) = nRT ln(p/p0)
di mana n adalah jumlah mol gas, R adalah konstanta gas ideal, T adalah suhu dalam Kelvin, dan p0 adalah tekanan referensi (biasanya 1 atm).
Selanjutnya, kita perlu menghitung turunan f(p) terhadap p:
f'(p) = nRT/p
Kita juga dapat mengekspresikan tekanan dalam hal volume dan jumlah mol gas menggunakan hukum gas ideal:
pV = nRT
maka tekanan dapat ditulis sebagai:
p = nRT/V
dan turunan p terhadap V adalah:
dp/dV = -nRT/V2
Kemudian, kita dapat menghitung f'(p) dalam hal volume dan jumlah mol gas menggunakan persamaan di atas:
f'(p) = -Vdp/dV = -nRT/V
Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas, maka kita dapat mengekspresikan w(pv) sebagai berikut:
w(pv) = ∫v1v2 pdv = ∫v1v2 (nRT/V) dV = nRT ln(V2/V1)
Maka fungsi energi f(p) adalah:
f(p) = nRT ln(p/p0)
Turunan f(p) terhadap p adalah:
f'(p) = nRT/p
Maka syarat Euler adalah:
w(pv) = f(p) - p * f'(p)
Substitusi w(pv), f(p), dan f'(p) memberikan:
nRT ln(V2/V1) = nRT ln(p/p0) - p (nRT/p)
Membuang faktor nRT dan menggabungkan suku-suku terkait memberikan:
ln(V2/V1) = ln(p/p0) - ln(p)
ln(V2/V1) + ln(p) = ln(p/p0)
Mengaplikasikan sifat logaritma pada bagian kanan memberikan:
ln(V2V/p0) = ln(p/p0)
Dengan menghilangkan logaritma pada kedua sisi, maka kita dapatkan:
V2/p0 = p/V
yang merupakan persamaan yang memenuhi syarat Euler.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa fungsi w(pv) = nRT ln(V2/V1) memenuhi syarat Euler untuk proses yang digambarkan oleh persamaan 𝑑𝑤 = 𝐹.
