F melakukan usaha mekanik sepanjang dx yang dilakukan oleh gas yang mengembang dalam bejana berpenampang A melalui piston: 𝑑𝑤 = 𝐹. 𝑑𝑥 = 𝑝. 𝑑𝑣 + 0𝑑𝑝 Apakah fungsi w = w(pv) ada? Buktikan dengan memeriksa syarat Euler?

fungsi w = w(pv) ada untuk proses yang digambarkan oleh persamaan 𝑑𝑤 = 𝐹. 𝑑𝑥 = 𝑝. 𝑑𝑣 + 0𝑑𝑝. Fungsi w(pv) dapat didefinisikan sebagai berikut:

w(pv) = ∫v1v2 pdv

di mana v1 dan v2 masing-masing adalah volume awal dan akhir sistem saat proses berlangsung.

Untuk memeriksa apakah fungsi ini memenuhi syarat Euler, kita perlu memeriksa apakah persamaan ini benar:

w(pv) = f(p) - p * f'(p)

di mana f(p) adalah fungsi energi dalam sistem.

Pertama, kita perlu mencari f(p). Karena proses terjadi pada gas ideal, maka f(p) dapat didefinisikan sebagai:

f(p) = nRT ln(p/p0)

di mana n adalah jumlah mol gas, R adalah konstanta gas ideal, T adalah suhu dalam Kelvin, dan p0 adalah tekanan referensi (biasanya 1 atm).

Selanjutnya, kita perlu menghitung turunan f(p) terhadap p:

f'(p) = nRT/p

Kita juga dapat mengekspresikan tekanan dalam hal volume dan jumlah mol gas menggunakan hukum gas ideal:

pV = nRT

maka tekanan dapat ditulis sebagai:

p = nRT/V

dan turunan p terhadap V adalah:

dp/dV = -nRT/V2

Kemudian, kita dapat menghitung f'(p) dalam hal volume dan jumlah mol gas menggunakan persamaan di atas:

f'(p) = -Vdp/dV = -nRT/V

Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas, maka kita dapat mengekspresikan w(pv) sebagai berikut:

w(pv) = ∫v1v2 pdv = ∫v1v2 (nRT/V) dV = nRT ln(V2/V1)

Maka fungsi energi f(p) adalah:

f(p) = nRT ln(p/p0)

Turunan f(p) terhadap p adalah:

f'(p) = nRT/p

Maka syarat Euler adalah:

w(pv) = f(p) - p * f'(p)

Substitusi w(pv), f(p), dan f'(p) memberikan:

nRT ln(V2/V1) = nRT ln(p/p0) - p (nRT/p)

Membuang faktor nRT dan menggabungkan suku-suku terkait memberikan:

ln(V2/V1) = ln(p/p0) - ln(p)

ln(V2/V1) + ln(p) = ln(p/p0)

Mengaplikasikan sifat logaritma pada bagian kanan memberikan:

ln(V2V/p0) = ln(p/p0)

Dengan menghilangkan logaritma pada kedua sisi, maka kita dapatkan:

V2/p0 = p/V

yang merupakan persamaan yang memenuhi syarat Euler.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa fungsi w(pv) = nRT ln(V2/V1) memenuhi syarat Euler untuk proses yang digambarkan oleh persamaan 𝑑𝑤 = 𝐹.